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多重比較 Multiple comparisons

在用 ANOVA 時,會得到一個 F-test,這個 test 只能告訴你整個 model 是否顯著 (i.e., 總體平均數不相同或不完全相同),並不能告訴你特定的組與組之間是否有差異。有很多種方法可以比較組間的平均值是否有差異,這些方式就稱作多重比較 (multiple comparisons) (註:這裡只說事後比較,不提事前比較)。

那為什麼有這麼多種方式,不要有一種就好?好問題,因為問題的核心是 Type I errors。不同的方法有不同的假設與處理 Type I errors 的方式。那為什麼問題的核心是 Type I errors呢?因為就整個 model 的 F-test 來說,你只有一個比較,換言之,你只要處理一次 Type I error 即可。但當你作多重比較時,你就要處理很多次 Type I error (三組間的比較就要處理三次,四組就要六次) ,在這情況下,就要調整 error rate 以免不小心犯了 Type I error 了。

如果要作 post hoc comparisons (有人叫 posteriori test) ,有許多選擇:1) Fisher’s Least Significant Difference (又稱為 LSD);2) Tukey’s Test;3) The Ryan Procedure (REGWQ);4) The Scheffé Test;5) Dunnett’s test for comparing all treatments with a control。

會產生這麼多方法,主要是比較的方式不同。有的方法是與均值作比較 (i.e., 所有組別的平均皆相同),有的方法是配對比較 (pairwise comparison) (i.e., 與控制組比較、與最佳組比較),有的是 contrast (特定兩組比較)。

LSD (最小差異)

簡化比較步驟,臨界值最小,最易顯著 (也表示較容易犯 Type I error)。LSD 要在整體模組 F-test 顯著的情況下才行。

Tukey’s Test (又稱為 Tukey’s Honestly Significant Difference Test,或簡稱為 Tukey’s HSD)

Tukey HSD 是測試所有可能的 pairwise 的平均值,並決定是否其中之一為 0。

Tukey’s test 的假設是 1) 所有的observation 都是獨立的;2) 平均數是來自常態分佈的樣本;3) 同質性 (equal variation across observations);4) equal sample sizes (參見 Wikipedia)。

如果樣本數不同,用Tukey–Kramer method

REGWQ

(待補充)

Scheffé Test (雪費檢定;同步檢定法)

同時測試所有可能的 contrast,並視是否其中之一為 0。

臨界值最大,最不容易顯著 (也表示較不容易犯 Type II error)。

可用於各組人數不同、非常態分配上。

Dunnett’s test

如果是比較所有的 treatment 跟 control,建議用此種方法。

比較表 (出自 Statistical methods for Psychology by David C. Howell,第六版,頁375) 

Test Error rate Comparison Type 事前/事後 備註
Individual t tests PCa Pairwise t 事前  
Linear contrast PC Any contrasts F 事前  
Bonferroni t FWb Any contrasts t** 事前  
Holm: Larzelere & Mulaik FWb Any contrasts t** 兩者  
Fisher’s LSD FW* Pairwise t 事後  
Newman-Keuls test FW* Pairwise Range 事後 爭議性大
Ryan (REGWQ) FW Pairwise Range 事後  
Tukey HSD FW Pairwise*** Range 事後 只想測試某兩組時
Scheffé Test FW Any contrasts F** 事後 想測試所有差異時
Dunnett’s test FW With control F** 事後  

Note:
a: Error rate per comparison.
b: Family error rate (FW). 
FW*: against complete null hypothesis.
t** : modified t test.
F*: modified.
Pairwise***: Tukey HSD can be used for all contrasts, but is poor for this purpose.

請高手補充與指正!

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