因素負荷量 (factor loadings) 與特徵值 (eigenvalues)

作因素分析時，常會碰到兩個讓人頭痛的名詞：因素負荷量 (factor loadings) 與特徵值 (eigenvalues)。加上 scree plot 的判斷，很多人在這幾個步驟都卡住了。這篇的目標很簡單：不講太多數學，把這幾個概念說清楚，以及它們實際上在回答什麼問題。

特徵值 (Eigenvalues)：這個因素值不值得留？

特徵值（有時也稱為 characteristic roots）回答的是一個問題：這個因素能代表多少個變數的資訊？

以 10 個變數為例，所有因素的特徵值加總等於 10。如果某個因素的特徵值是 0.5，代表它只解釋了半個變數的資訊量——留下這個因素，對精簡變數結構的幫助非常有限。

常見的判斷準則（rule of thumb）是：特徵值 < 1 的因素通常可以刪除（Harman, 1976）。背後的邏輯是，若特徵值小於 1，代表這個因素解釋的資訊量連一個原始變數都不如，自然沒有保留的必要。這個標準在 EFA（探索性因素分析）初步判斷時最常使用，大部分期刊也接受。不過它並非最嚴謹的方式，最好搭配下面的 scree plot 和理論意義一起判斷。

除了看特徵值，也可以觀察每個因素解釋的 % of variance，了解所有因素加總能解釋多少總變異量。

Scree Plot：到底該留幾個因素？

Scree Plot 是另一個判斷因素數量的工具。它把每個因素的特徵值由高到低畫成折線圖，你要找的是線條突然變平的轉折點——轉折點之前的因素留下，之後的捨棄。

轉折點後，每多留一個因素，能新增的解釋量已經非常有限，留下來只會讓模型變複雜，不會更清楚。

需要注意的是，Scree Plot 有一定的主觀性。如果折線是慢慢變平而非突然斷下去，不同人看到的轉折點可能不一樣。這時候不要硬選，應回頭對照理論：這份量表在概念上應該測幾個維度？特徵值準則、scree plot 和理論意義三者一起看，是最穩的做法。

因素負荷量 (Factor Loadings)：這個因素代表什麼？

確定保留幾個因素之後，下一步是理解每個因素的意義——靠的就是因素負荷量。

因素負荷量是個別變數與因素之間的相關程度（未轉軸前），數值介於 -1 到 1 之間，類似 Pearson 相關係數。因素負荷量的平方，就是該因素能解釋這個變數多少的 variance。例如負荷量為 0.4，代表能解釋 16% 的變異量。

依照 Hair et al. (1992) 的說法，低於 0.4 的因素負荷量偏低，0.6 以上算高。命名因素的方式，就是找這個因素下負荷量最高的幾個變數，看它們的共同主題——那就是因素的名字。

要特別注意的是 cross-loading：如果同一個變數在兩個因素的負荷量都偏高，代表這個變數的概念跨了兩個維度，不夠「乾淨」。遇到這種情況，應考慮刪題或重新檢視題項設計。

最後提醒：決定一個變數是否歸入某個因素，取決於理論而非純粹數字，數據只是佐證。有時候因為樣本或其他因素，結果稍微不如預期也是可以接受的。

參考文獻

Hair, J. F., Black, B., Babin, B., Anderson, R. E., & Tatham, R. L. (1992). Multivariate Data Analysis (6th ed.). New York: Macmillan.

Harman, H. H. (1976). Modern factor analysis. Chicago: University Of Chicago Press.

Kim, J., & Mueller, C. W. (1978). Introduction to factor analysis: What it is and how to do it. Newbury Park, CA: Sage.