統計分析

階層線性模式（hierarchical linear modeling，簡稱 HLM）或多層次分析（multilevel analysis）是近幾十年來在教育、社會學、心理學等領域廣泛使用的統計方法。它的核心問題很簡單：當你的資料有巢套結構（nested structure）——也就是「小單位嵌在大單位裡面」——普通的線性迴歸就不夠用了。

為什麼普通迴歸不夠用？

最典型的例子還是從教育研究來看。假設你要研究學生的學習成就，但你手上有來自 30 個班級的資料。問題來了：同一個班的學生共享同一位老師、同樣的教室氣氛、相似的背景環境，他們的學習成就之間自然會有關聯。這違反了普通迴歸的基本假設——觀察值必須彼此獨立。

如果你硬用普通迴歸，就等於忽略了「班級」這個層次的影響。你可以嘗試把班級人數、師生比、老師年資等變數全部丟進去當控制變數，但你永遠控制不完——每個班總有你沒測量到的差異。HLM 的解法是：直接把這種層次結構納入模型，讓資料的巢套性成為分析的一部分，而不是需要「消除」的麻煩。

第二個典型例子是重複測量（repeated measures）。如果你對同一批人進行三次前後測，每個人自己的三次測量就形成了巢套結構——三次觀察「嵌在」同一個人裡面。第一層是不同時間點的測量，第二層是個人本身。如果你不處理這個層次性，統計推論的可靠度就會受到影響。

什麼時候該用 HLM？ICC 是關鍵指標

判斷要不要用 HLM，最常用的標準是組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient，ICC）。ICC 反映的是「整體變異中，有多少比例是來自於上層單位（例如班級）之間的差異」。

一般來說，ICC > 0.05 就值得認真考慮使用 HLM；ICC > 0.10 則通常建議使用。如果你的 ICC 接近 0，代表學生之間的相似性主要不是來自班級效應，用普通迴歸或許還可以接受。

關於如何計算 ICC，可以參考這篇：Stata: 計算 Intraclass Correlation。

Random Intercept vs.

…

如果你在處理資料時，裡面有學生id，像是 80070394，甚至更長如： 5140712902，如果你直接 list 出來，會出現像這樣的情況：

這些值沒顯示完整數值，而是用科學記號，像是 8.0e+07，或是 1.1e+09。如果你要知道完整數值，還得到 data editor 裡面一筆一筆去看，這會浪費不少時間。

要解決這樣的問題，就得從資料格式上來處理。至於為什麼會出現這樣的問題，這跟 output width 有關，詳情請參閱 Stata help 的 format。

首先來瞧瞧左方 variable list 是怎麼顯示的。studentid 的記號是 long %8.0f，ssid 是 double %8.0f ，long 與 double 是兩種不同的儲存格式，這有興趣請參考 datatypes 得到更多資訊，但這裡不影響。有影響的是 %8.0f。在小數點前的數字指的是要顯示幾位數，小數點後的數字指的是要顯示小數點後幾位，f 指的是 fixed format。依照這個例子來說，就是顯示 8 位數，不顯示小數點以後的位數。

所以這裡要作的很簡單，就是將顯示的位數加大。我的程式如下：

format studentid %9.0f <br />format ssid %12.0f

列出結果就正常了：

參考資料
http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/longid.htm…

作因素分析時，常會碰到兩個讓人頭痛的名詞：因素負荷量 (factor loadings) 與特徵值 (eigenvalues)。加上 scree plot 的判斷，很多人在這幾個步驟都卡住了。這篇的目標很簡單：不講太多數學，把這幾個概念說清楚，以及它們實際上在回答什麼問題。

特徵值 (Eigenvalues)：這個因素值不值得留？

特徵值（有時也稱為 characteristic roots）回答的是一個問題：這個因素能代表多少個變數的資訊？

以 10 個變數為例，所有因素的特徵值加總等於 10。如果某個因素的特徵值是 0.5，代表它只解釋了半個變數的資訊量——留下這個因素，對精簡變數結構的幫助非常有限。

常見的判斷準則（rule of thumb）是：特徵值 < 1 的因素通常可以刪除（Harman, 1976）。背後的邏輯是，若特徵值小於 1，代表這個因素解釋的資訊量連一個原始變數都不如，自然沒有保留的必要。這個標準在 EFA（探索性因素分析）初步判斷時最常使用，大部分期刊也接受。不過它並非最嚴謹的方式，最好搭配下面的 scree plot 和理論意義一起判斷。

除了看特徵值，也可以觀察每個因素解釋的 % of variance，了解所有因素加總能解釋多少總變異量。

Scree Plot：到底該留幾個因素？

Scree Plot 是另一個判斷因素數量的工具。它把每個因素的特徵值由高到低畫成折線圖，你要找的是線條突然變平的轉折點——轉折點之前的因素留下，之後的捨棄。

轉折點後，每多留一個因素，能新增的解釋量已經非常有限，留下來只會讓模型變複雜，不會更清楚。

需要注意的是，Scree Plot 有一定的主觀性。如果折線是慢慢變平而非突然斷下去，不同人看到的轉折點可能不一樣。這時候不要硬選，應回頭對照理論：這份量表在概念上應該測幾個維度？特徵值準則、scree plot 和理論意義三者一起看，是最穩的做法。

因素負荷量 (Factor Loadings)：這個因素代表什麼？

確定保留幾個因素之後，下一步是理解每個因素的意義——靠的就是因素負荷量。

因素負荷量是個別變數與因素之間的相關程度（未轉軸前），數值介於 -1 到 1 之間，類似 Pearson 相關係數。因素負荷量的平方，就是該因素能解釋這個變數多少的 variance。例如負荷量為 0.4，代表能解釋 16% 的變異量。

依照 Hair et al.…