統計分析

階層線性模式 (hierarchical linear modeling，簡稱為HLM) 或是多層次分析 (multi-level analysis) 是近一、二十年來開始流行的統計方法。這種統計方法多半使用於教育研究，但後來也漸漸普及到社會學研究與其它領域。

為什麼除了迴歸分析之外，還要有階層線性模式呢？最典型的例子還是從教育中來看。如果你要看學生的學習成就，但是如果你有很多班級的話，每個班級的老師不同，這就衍生了問題：學生的學習成就可能是受到教師或班級影響，所以我們想要解決缺乏獨立性 (lack of independence) 的問題。

可以具體說說有什麼變數在班級裡面會影響學生成就？這可說的太多了。比如說班級人數，男女生比例，貧窮學生比例。此外，老師當然也是重要的因素，比如說老師的經驗，老師的教育水準，老師的教學法等等。這樣一列下來，如果你想要列出一大堆變數來控制，似乎就顯得有點不切實際。更重要的是：你不可能控制所有的不同。

從上面的例子來說，你就很容易可以看出來階層性關係。如果學生是第一層 (底層) 的話，班級就是第二層 (上層)。由於這個層次有階層性，所以在統計時就要列入考量，這也就是階層線性模式 的最主要目的。

另外一個利用階層線性模式的典型列子就是重複測量 (repeated measures)。如果一個人進行測量數次，那每次測量之間應該存在著高度相關性。換言之，測量結果並不是獨立的，因為你第一次測量高，你後面測量的結果是很高的可能性非常大。依照這種思維，其實你不能想像出：這也是另外一個階層線性模式。第一層 (底層)，是每個人在不同時間的測量，而第二層則是個人。如果性別會影響到測量結果，那性別理論上會影響到所有的測量結果，也就是所有第一層的都會受到影響。這就是要用 HLM 的原因。

如果你不熟悉 HLM 或是 multilevel linear models，也有可能在你的領域使用 mixed-effects models 、 random-effects models 或random-coefficient regression models 等其它名詞。

HLM 的優點還不只於此，遠比我說的複雜多，這只是個簡單的介紹而已。如果你對這有興趣，可以參考下面這本書。這本書可說是 HLM 研究裡面的聖經，絕好的參考書，但是裡面的數學有點複雜，所以有點不好讀。建議有一定統計基礎再看。

我不知道有什麼比較基礎 HLM 的書籍，如果大家有知道的，也歡迎推薦。

參考文獻

Raudenbush, S.…

如果你在處理資料時，裡面有學生id，像是 80070394，甚至更長如： 5140712902，如果你直接 list 出來，會出現像這樣的情況：

這些值沒顯示完整數值，而是用科學記號，像是 8.0e+07，或是 1.1e+09。如果你要知道完整數值，還得到 data editor 裡面一筆一筆去看，這會浪費不少時間。

要解決這樣的問題，就得從資料格式上來處理。至於為什麼會出現這樣的問題，這跟 output width 有關，詳情請參閱 Stata help 的 format。

首先來瞧瞧左方 variable list 是怎麼顯示的。studentid 的記號是 long %8.0f，ssid 是 double %8.0f ，long 與 double 是兩種不同的儲存格式，這有興趣請參考 datatypes 得到更多資訊，但這裡不影響。有影響的是 %8.0f。在小數點前的數字指的是要顯示幾位數，小數點後的數字指的是要顯示小數點後幾位，f 指的是 fixed format。依照這個例子來說，就是顯示 8 位數，不顯示小數點以後的位數。

所以這裡要作的很簡單，就是將顯示的位數加大。我的程式如下：

format studentid %9.0f <br />format ssid %12.0f

列出結果就正常了：

參考資料
http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/longid.htm…

作因素分析時，常會碰到兩個讓人頭痛的名詞：因素負荷量 (factor loadings) 與特徵值 (eigenvalues)。加上 scree plot 的判斷，很多人在這幾個步驟都卡住了。這篇的目標很簡單：不講太多數學，把這幾個概念說清楚，以及它們實際上在回答什麼問題。

特徵值 (Eigenvalues)：這個因素值不值得留？

特徵值（有時也稱為 characteristic roots）回答的是一個問題：這個因素能代表多少個變數的資訊？

以 10 個變數為例，所有因素的特徵值加總等於 10。如果某個因素的特徵值是 0.5，代表它只解釋了半個變數的資訊量——留下這個因素，對精簡變數結構的幫助非常有限。

常見的判斷準則（rule of thumb）是：特徵值 < 1 的因素通常可以刪除（Harman, 1976）。背後的邏輯是，若特徵值小於 1，代表這個因素解釋的資訊量連一個原始變數都不如，自然沒有保留的必要。這個標準在 EFA（探索性因素分析）初步判斷時最常使用，大部分期刊也接受。不過它並非最嚴謹的方式，最好搭配下面的 scree plot 和理論意義一起判斷。

除了看特徵值，也可以觀察每個因素解釋的 % of variance，了解所有因素加總能解釋多少總變異量。

Scree Plot：到底該留幾個因素？

Scree Plot 是另一個判斷因素數量的工具。它把每個因素的特徵值由高到低畫成折線圖，你要找的是線條突然變平的轉折點——轉折點之前的因素留下，之後的捨棄。

轉折點後，每多留一個因素，能新增的解釋量已經非常有限，留下來只會讓模型變複雜，不會更清楚。

需要注意的是，Scree Plot 有一定的主觀性。如果折線是慢慢變平而非突然斷下去，不同人看到的轉折點可能不一樣。這時候不要硬選，應回頭對照理論：這份量表在概念上應該測幾個維度？特徵值準則、scree plot 和理論意義三者一起看，是最穩的做法。

因素負荷量 (Factor Loadings)：這個因素代表什麼？

確定保留幾個因素之後，下一步是理解每個因素的意義——靠的就是因素負荷量。

因素負荷量是個別變數與因素之間的相關程度（未轉軸前），數值介於 -1 到 1 之間，類似 Pearson 相關係數。因素負荷量的平方，就是該因素能解釋這個變數多少的 variance。例如負荷量為 0.4，代表能解釋 16% 的變異量。

依照 Hair et al.…